Democrazia (?)

Tutti, credo, siamo d’accordo sul fatto che ognuno è libero di esprimere preferenze su ogni cosa e, in base a questo organizzare classifiche: ad esempio la torta al limone mi piace di più di quella di mandorle, mentre la torta alle fragole mi piace di più di quella al limone e, per finire, il tiramisù mi è indifferente se paragonato alla torta alle fragole (ovvero il tiramisù è almeno buono tanto quanto la torta di fragole) però è di certo preferito alla torta al limone o a quella alle mandorle; il tutto si potrebbe riassumere in uno schema come quello qui di seguito:

Ora, in democrazia, anche qui correggetemi se sbaglio, ognuno è libero di esprimere il proprio pensiero e la propria opinione e, proprio per questo, poiché le opinioni sono variegate e molto diverse tra loro (uno, al mio contrario potrebbe pensare che la torta alle mandorle sia meglio di quella alle fragole, e questa sarebbe una preferenza del tutto legittima) non sempre è possibile stabilire un ordine (o pre-ordine è meglio dire, se vogliamo essere rigorosi) universale e totale che vada bene a tutti, ma spesso bisogna ricorrere a compromessi. Il compromesso che la democrazia ha scelto di adottare è quello della scelta secondo maggioranza che sembra essere il migliore… ma è così?

Facciamo un po’ di teoria prima di tutto:

In matematica una relazione binaria R entro un insieme S, cioè un sottoinsieme del quadrato cartesiano , si dice relazione d’ordine (o semplicemente ordine) su S) se soddisfa le seguenti tre proprietà:

A questo punto mi pare chiaro che la relazione di preferenza goda di almeno due di queste proprietà: la riflessività (è ovvio che la torta di fragole è preferita almeno tanto quanto la torta di fragole) e l’antisimmetria (la torta di fragole è almeno tanto buona quanto il tiramisù e il tiramisù è almeno tanto buono quanto la torta di fragole). Resta da verificare l’ultima delle tre proprietà: la transitività.

Ed è qui che Condorcet con il suo paradosso ci fa vedere come il voto per maggioranza possa portare a contraddizioni (sebbene poi il modo che egli proponga per risolverlo, unitamente ad Arrow, sia del tutto discutibile).

Condorcet afferma che in un ipotetico paese in cui siano 5 i votanti e 3 i partiti (A, B, C) non è detto che il voto per maggioranza sia la scelta migliore: consideriamo infatti queste 5 ipotesi:

Queste 5 persone adottano un ordine di preferenza che si “comporta bene” rispetto alla transitività (oltre che rispetto alle altri due proprietà che abbiamo già verificato essere rispettate). Ognuna di queste 5 persone infatti non va in contro a contraddizioni: ognuno ha un partito “preferito” e un ordine di preferenza per i due partiti restanti (ovvero: non esistono partiti che piacciano allo stesso modo).
Facendo un po’ di calcoli ora vediamo che cosa risulta dalle elezioni (ammesso che i cittadini abbiano votato in maniera coerente con quanto dichiarato):

Quindi in conclusione risulta che A è preferito a C che è preferito a B che a sua volta è preferito ad A (A > C > B > A) ma questo è impossible, c’è una contraddizione dovuta al fatto che la relazione di preferenza non sempre rispetta la transitività, proprietà fondamentale perchè non ci si imbatta in casi del genere in cui tutti esprimono preferenze, tutti votano, ma di fatto non è possibile decidere chi sia preferito a chi.

Siamo quindi sicuri che la democrazia e il nostro metodo di voto così strutturato rimanga il miogliore?
Per quanto riguarda la mia opinione: no, non è il migliore in assoluto (causa contraddizioni interne) come ho appena dimostrato, ma penso sia il meno peggio di quelli che, fino ai giorni nostri, sono stati utilizzati.